Comment créer des modèles d’évaluation comme Black-Scholes

La valorisation des options peut être une entreprise délicate. Considérez le scénario suivant: en janvier 2015, l’  action option d’achat  sur l’action IBM avec un  prix d’exercice ATM  de 155 $, en espérant bénéficier de rendements en pourcentage élevés, basés sur un faible coût d’ option ( prime d’option ), par rapport à l’achat d’actions avec un prix d’achat élevé.

Aujourd’hui, plusieurs méthodes prêtes à l’emploi sont disponibles pour évaluer les options, notamment le  modèle Black-Scholes  et le  modèle d’arbre binomial, qui peuvent fournir des réponses rapides. Mais quels sont les facteurs sous-jacents et les concepts moteurs pour arriver à de tels modèles de valorisation? Peut-on préparer quelque chose de similaire, basé sur le concept de ces modèles?

Ici, nous couvrons les éléments de base, les concepts sous-jacents et les facteurs qui peuvent être utilisés comme cadre pour construire un modèle de valorisation pour un actif tel que les options, en fournissant une comparaison côte à côte avec les origines des Black-Scholes (BS ) maquette.

Cet article n’a pas l’intention de contester les hypothèses ou tout autre facteur du modèle BS (qui est un sujet complètement différent); il vise plutôt à expliquer le concept sous-jacent du modèle de Black-Scholes, ainsi que l’idée de développement du modèle de valorisation.

Le monde avant Black-Scholes

Avant Black-Scholes, le modèle de tarification des actifs financiers (CAPM) basé sur l’équilibre était largement suivi. Les rendements et les risques étaient équilibrés les uns avec les autres, en fonction de la préférence de l’investisseur, c’est-à-dire qu’un investisseur à haut risque devait être compensé par (le potentiel de) des rendements plus élevés dans une proportion similaire.

Le modèle BS trouve ses racines dans CAPM. Selon Fischer Black: «J’ai appliqué le modèle de tarification des immobilisations à chaque moment de la vie d’un bon de souscription, pour chaque cours possible de l’action et la valeur du bon de souscription.»Malheureusement, le CAPM n’a pas été en mesure de satisfaire à l’exigence detarificationdes bons de souscription (option).

Black-Scholes reste le premier modèle, basé sur le concept d’ arbitrage, faisant un changement de paradigme par rapport aux modèles basés sur le risque (comme le CAPM). Ce nouveau développement du modèle BS a remplacé le concept de rendement des actions CAPM par la reconnaissance du fait qu’une position parfaitement couverte rapportera un taux sans risque. Cela a éliminé les variations de risque et de rendement et a établi le concept d’arbitrage dans lequel les évaluations sont effectuées sur des hypothèses de concept neutre au risque – une position couverte (sans risque) devrait conduire à un taux de rendement sans risque.

Le développement de Black-Scholes

Commençons par établir le problème, le quantifier et développer un cadre pour sa solution. Nous continuons avec notre exemple sur la valorisation de l’option d’achat ATM sur IBM avec un prix d’exercice de 155 $ avec un an avant l’expiration.

Sur la base de la définition de base d’une option d’achat, à moins que le cours de l’action n’atteigne le niveau du prix d’exercice, le gain reste nul. Après ce niveau, le gain augmente de façon linéaire (c’est-à-dire qu’une augmentation d’un dollar du sous-jacent fournira un gain d’un dollar de l’option d’achat).

En supposant que l’acheteur et le vendeur s’entendent sur la juste évaluation (y compris le prix zéro), le juste prix théorique de cette option d’achat sera:

• Prix ​​de l’option d’achat = 0 $, si sous-jacent <grève (graphique rouge)
• Prix ​​de l’option d’achat = (sous-jacent – exercice), si sous-jacent> = exercice (graphique bleu)

Cela représente la valeur intrinsèque de l’option et semble parfait du point de vue d’un acheteur d’options d’achat. Dans la région rouge, l’acheteur et le vendeur ont une juste évaluation (prix zéro pour le vendeur, paiement nul pour l’acheteur). Cependant, le défi de l’évaluation commence par la région bleue, car l’acheteur a l’avantage d’un gain positif, tandis que le vendeur subit une perte (à condition que le prix sous-jacent dépasse le prix d’exercice). C’est là que l’acheteur a un avantage sur le vendeur avec un prix nul. Le prix doit être différent de zéro pour compenser le vendeur pour le risque qu’il prend.

Dans le premier cas (graphique rouge), théoriquement, le vendeur reçoit un prix nul et le potentiel de gain pour l’acheteur est nul (juste pour les deux). Dans ce dernier cas (graphique bleu), le différentiel entre le sous-jacent et le strike est à la charge du vendeur à l’acheteur. Le risque du vendeur s’étend sur la durée d’une année entière. Par exemple, le prix de l’action sous-jacente peut évoluer très haut (par exemple à 200 $ dans quatre mois) et le vendeur est tenu de payer à l’acheteur le différentiel de 45 $.

Ainsi, cela se résume à:

1. Le prix du sous-jacent croise-t-il le prix d’exercice?
2. Si tel est le cas, à quel point le prix sous-jacent peut-il monter (car cela déterminera le gain pour l’acheteur)?

Cela indique le grand risque pris par le vendeur, ce qui conduit à la question: pourquoi quelqu’un vendrait-il un tel appel, s’il n’obtient rien pour le risque qu’il prend?

Notre objectif est d’arriver à un prix unique que le vendeur doit facturer à l’acheteur, ce qui peut le compenser pour le risque global qu’il prend sur une année, à la fois dans la région de paiement zéro (rouge) et dans la région de paiement linéaire (bleu).. Le prix doit être juste et acceptable tant pour l’acheteur que pour le vendeur. Sinon, celui qui est désavantagé en termes de paiement ou de réception d’un prix injuste ne participera pas au marché, ce qui va à l’encontre de l’objectif de l’activité commerciale. Le modèle de Black-Scholes vise à établir ce juste prix en tenant compte de la variation constante du prix de l’action, de la valeur temps de l’argent, du prix d’exercice de l’option et du délai d’expiration de l’option. Semblable au modèle BS, voyons comment nous pouvons évaluer cela pour notre exemple en utilisant nos propres méthodes.

Comment évaluer la valeur intrinsèque dans la région bleue?

Quelques méthodes sont disponibles pour prédire le mouvement de prix attendu dans le futur au cours d’une période donnée:

• On peut analyser des mouvements de prix similaires de même durée dans un passé récent. Le cours de clôture historique d’IBM indique qu’au cours de la dernière année (du 2 janvier 2014 au 31 décembre 2014), le prix a chuté de 185,53 $ à 160,44 $, soit une baisse de 13,5%. Pouvons-nous conclure un mouvement de prix de -13,5% pour IBM?
• Un autre contrôle détaillé indique qu’il a atteint un sommet annuel de 199,21 $ (le 10 avril 2014) et un minimum annuel de 150,5 $ (le 16 décembre 2014). En se basant sur le jour de départ, le 2 janvier 2014, et le cours de clôture de 185,53 $, la variation en pourcentage varie de + 7,37% à -18,88%. Maintenant, la plage de variation semble beaucoup plus large par rapport à la baisse calculée précédemment de 13,5%.

Une analyse et des observations similaires sur des données historiques peuvent être effectuées. Pour poursuivre le développement de notre modèle de tarification, supposons cette méthodologie simple pour évaluer les futures variations de prix.

Supposons qu’IBM augmente de 10% chaque année (sur la base des données historiques des 20 dernières années). Les statistiques de base indiquent que la probabilité que le cours de l’action IBM évolue autour de + 10% sera beaucoup plus élevée que la probabilité que le prix d’IBM augmente de 20% ou diminue de 30%, en supposant que les modèles historiques se répètent. En collectant des points de données historiques similaires avec des valeurs de probabilité, un rendement global attendu du cours de l’action IBM sur une période d’un an peut être calculé comme une moyenne pondérée des probabilités et des rendements associés. Par exemple, supposons que les données de prix historiques d’IBM indiquent les mouvements suivants:

• (-10%) dans 25% des cas,
• + 10% en 35% des fois,
• + 15% en 20% des fois,
• + 20%  en 10% des fois,
• + 25% en 5% des fois et
• (-15%) dans 5% des fois.

Par conséquent, la moyenne pondérée (ou la valeur attendue) correspond à:

(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 15% * 5%) / 100% = 6.5%

C’est-à-dire qu’en moyenne, le prix de l’action IBM devrait revenir de + 6,5% dans un an pour chaque dollar. Si quelqu’un achète l’action IBM avec un horizon d’un an et un prix d’achat de 155 $, on peut s’attendre à un rendement net de 155 * 6,5% = 10,075 $.

Cependant, c’est pour le retour des actions. Nous devons rechercher des rendements attendus similaires pour l’option d’achat.

Sur la base d’un gain nul de l’appel en dessous du prix d’exercice (155 $ existant – appel ATM), tous les mouvements négatifs généreront des gains nuls, tandis que tous les mouvements positifs au-dessus du prix d’exercice généreront un gain équivalent. Le rendement attendu de l’option d’achat sera donc:

( -0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 0 % * 5%) / 100% = 9.75%

Autrement dit, pour chaque 100 $ investi dans l’achat de cette option, on peut s’attendre à 9,75 $ (sur la base des hypothèses ci-dessus).

Cependant, cela reste limité à la juste évaluation du montant intrinsèque de l’option et ne saisit pas correctement le risque supporté par le vendeur de l’option pour les fluctuations élevées qui peuvent survenir entre-temps (dans le cas des hauts et des bas intra-auriculaires susmentionnés des prix). En plus de la valeur intrinsèque, quel prix peut être convenu entre l’acheteur et le vendeur, afin que le vendeur soit équitablement rémunéré pour le risque qu’il prend au cours de la période d’un an?

Ces fluctuations peuvent varier considérablement et le vendeur peut avoir sa propre interprétation du montant qu’il souhaite être rémunéré. Le modèle Black-Scholes suppose des options de type européen, c’est-à-dire aucun exercice avant la date d’expiration. Ainsi, il n’est pas affecté par les fluctuations de prix intermédiaires et fonde sa valorisation sur des jours de négociation de bout en bout.

Dans le day trading réel, cette volatilité joue un rôle important dans la détermination des prix des options. La fonction de paiement bleue que nous voyons généralement est en fait le paiement à la date d’expiration. De manière réaliste, le prix de l’option (graphique rose) est toujours supérieur au gain (graphique bleu), indiquant le prix pris par le vendeur pour compenser ses capacités de prise de risque. C’est pourquoi le prix de l’option est également appelé «prime» de l’option – indiquant essentiellement la prime de risque.

Cela peut être inclus dans notre modèle d’évaluation, en fonction de la volatilité attendue du cours de l’action et de la valeur attendue qui en résulterait.

Le modèle de Black-Scholes le fait efficacement (bien sûr, dans ses propres hypothèses) comme suit:

Le modèle BS suppose une distribution log-normale des mouvements de prix des actions, ce qui justifie l’utilisation de N (d1) et N (d2).

• Dans la première partie, S indique le prix actuel de l’action.
• N (d1) indique la probabilité du mouvement actuel des prix des actions.

Si cette option entre dans le cours et permet à l’acheteur d’exercer cette option, il recevra une part de l’action IBM sous-jacente. Si le trader l’exerce aujourd’hui, alors le S * N (d1) représente la valeur attendue actuelle de l’option.

Dans la seconde partie, X indique le prix d’exercice.

• N (d2) représente la probabilité que le cours de l’action soit supérieur au prix d’exercice.
• Donc X * N (d2) représente la valeur attendue du cours de l’action restant au  – dessus du prix d’exercice.

Comme le modèle Black-Scholes suppose des options de style européen dans lesquelles l’exercice n’est possible qu’à la fin, la valeur attendue représentée ci-dessus par X * N (d2) doit être actualisée pour la valeur temps de l’argent. Par conséquent, la dernière partie est multipliée par un terme exponentiel élevé au taux d’intérêt sur la période.

La différence nette entre les deux termes indique la valeur du prix de l’option à ce jour (dans laquelle le deuxième terme est actualisé)

Dans notre cadre, ces mouvements de prix peuvent être inclus plus précisément de plusieurs manières:

• Poursuite du raffinement des calculs de rendement attendu en élargissant la fourchette à des intervalles plus fins pour inclure les mouvements de prix intrajournaliers / intrajournaliers
• Inclusion des données de marché actuelles, car elles reflètent l’activité actuelle (similaire à la volatilité implicite )
• Rendements attendus à la date d’expiration, qui peuvent être actualisés jusqu’à aujourd’hui pour des évaluations réalistes et encore réduits par rapport à la valeur actuelle

Ainsi, nous voyons qu’il n’y a pas de limite aux hypothèses, aux méthodologies et à la personnalisation à sélectionner pour l’analyse quantitative. En fonction de l’actif à échanger ou de l’investissement à considérer, un modèle auto-développé peut être travaillé. Il est important de noter que la volatilité des mouvements de prix des différentes classes d’actifs varie beaucoup – les actions ont un  biais de volatilité, le forex a un  froncement de sourcils de volatilité – et les utilisateurs doivent intégrer les modèles de volatilité applicables dans leurs modèles. Les hypothèses et les inconvénients font partie intégrante de tout modèle et une application bien informée des modèles dans des scénarios commerciaux réels peut donner de meilleurs résultats.

La ligne de fond

Avec l’entrée d’actifs complexes sur les marchés ou même des actifs simples de vanille entrant dans des formes complexes de négociation, la modélisation et l’analyse quantitatives deviennent obligatoires pour l’évaluation. Malheureusement, aucun modèle mathématique ne comporte un ensemble d’inconvénients et d’hypothèses. La meilleure approche consiste à réduire au minimum les hypothèses et à être conscient des inconvénients implicites, ce qui peut aider à tracer des lignes sur l’utilisation et l’applicabilité des modèles.