Modèle Black-Scholes

Table des matières

Développer

• Qu’est-ce que le modèle Black-Scholes?
• Les bases du modèle BSM
• Hypothèses de Black-Scholes
• Formule Black-Scholes
• Que vous dit le modèle?
• Limites
• Questions fréquemment posées

Qu’est-ce que le modèle Black-Scholes?

Le modèle Black-Scholes, également connu sous le nom de modèle Black-Scholes-Merton (BSM), est un modèle mathématique de tarification d’un contrat d’options. En particulier, le modèle estime la variation dans le temps des instruments financiers.

Comprendre le modèle Black Scholes

Le modèle de Black-Scholes est l’un des concepts les plus importants de la théorie financière moderne. Il a été développé en 1973 par Fischer Black, Robert Merton et Myron Scholes et est encore largement utilisé aujourd’hui. Il est considéré comme l’un des meilleurs moyens de déterminer le juste prix des options. Le modèle Black-Scholes nécessite cinq variables d’entrée: le prix d’exercice d’une option, le prix actuel de l’action, le délai d’expiration, le taux sans risque et la volatilité.

Aussi appelé Black-Scholes-Merton (BSM), c’était le premier modèle largement utilisé pour la tarification des options. Il est utilisé pour calculer la valeur théorique des options en utilisant le cours actuel des actions, les dividendes attendus, le prix d’exercice de l’option, les taux d’intérêt attendus, le délai d’expiration et la volatilité attendue.

L’équation initiale a été introduite dans l’article de Black et Scholes de 1973, «The Pricing of Options and Corporate Liabilities», publié dans le Journal of Political Economy. Black est décédé deux ans avant que Scholes et Merton ne se voient décerner le prix Nobel d’économie en 1997 pour leurs travaux visant à trouver une nouvelle méthode pour déterminer la valeur des dérivés.(Le prix Nobel n’est pas décerné à titre posthume; cependant, le comité Nobel a reconnu le rôle de Black dans le modèle Black-Scholes.)

Black-Scholes postule que les instruments, tels que les actions ou les contrats à terme, auront une distribution log-normale des prix suivant une marche aléatoire avec une dérive et une volatilité constantes. En utilisant cette hypothèse et en tenant compte d’autres variables importantes, l’équation dérive le prix d’une option d’achat de style européen.

Les données d’entrée de l’équation de Black-Scholes sont la volatilité, le prix de l’  actif sous-jacent, le  prix  d’ exercice de l’option, le délai avant l’expiration de l’option et le taux d’intérêt sans risque . Avec ces variables, il est théoriquement possible pour les vendeurs d’options de fixer des prix rationnels pour les options qu’ils vendent.

De plus, le modèle prédit que le prix des actifs fortement négociés suit un mouvement brownien géométrique avec une dérive et une volatilité constantes. Lorsqu’il est appliqué à une option d’achat d’actions, le modèle intègre la variation constante du prix de l’action, la valeur temps de l’argent, le prix d’exercice de l’option et le délai d’expiration de l’option.

Hypothèses de Black-Scholes

Le modèle Black-Scholes fait certaines hypothèses:

• L’option est européenne et ne peut être exercée qu’à l’expiration.
• Aucun dividende n’est versé pendant la durée de l’option.
• Les marchés sont efficients (c’est-à-dire que les mouvements du marché ne peuvent être prédits).
• Il n’y a pas de frais de transaction lors de l’achat de l’option.
• Le taux sans risque et la volatilité du sous-jacent sont connus et constants.
• Les rendements de l’actif sous-jacent sont distribués log-normalement.

Alors que le modèle original de Black-Scholes ne tenait pas compte des effets des dividendes payés pendant la durée de vie de l’option, le modèle est fréquemment adapté pour tenir compte des dividendes en déterminant la valeur  ex-dividende  date de l’action sous-jacente. Le modèle est également modifié par de nombreux teneurs de marché qui vendent des options pour tenir compte de l’effet des options qui peuvent être exercées avant l’expiration. Alternativement, les entreprises utiliseront un modèle trinomial ou le modèle Bjerksund-Stensland  pour la tarification des options de style américain les plus couramment échangées.

Formule Black-Scholes

Les mathématiques impliquées dans la formule sont compliquées et peuvent être intimidantes. Heureusement, vous n’avez pas besoin de connaître ni même de comprendre les mathématiques pour utiliser la modélisation Black-Scholes dans vos propres stratégies. Les traders d’options ont accès à une variété de calculateurs d’options en ligne, et de nombreuses plates-formes de trading d’aujourd’hui disposent d’outils d’analyse d’options robustes, y compris des indicateurs et des feuilles de calcul qui effectuent les calculs et produisent les valeurs de prix des options.

La formule de l’option d’achat Black-Scholes est calculée en multipliant le prix de l’action par la fonction de distribution de probabilité normale standard cumulative. Par la suite, la valeur actuelle nette (VAN) du prix d’exercice multipliée par la distribution normale standard cumulée est soustraite de la valeur résultante du calcul précédent.

En notation mathématique:

Inclinaison de la volatilité

Black-Scholes suppose que les cours des actions suivent une distribution log – normale parce que les prix des actifs ne peuvent pas être négatifs (ils sont limités par zéro). Ceci est également connu sous le nom de   distribution gaussienne.

On observe souvent que les prix des actifs présentent une asymétrie droite significative   et un certain degré de  kurtosis (queues grasses). Cela signifie que les mouvements à la baisse à haut risque se produisent souvent plus souvent sur le marché qu’une distribution normale ne le prévoit.

L’hypothèse de prix log-normaux des actifs sous-jacents devrait montrer que les volatilités implicites sont similaires pour chaque prix d’exercice selon le modèle de Black-Scholes. Cependant, depuis le krach boursier de 1987, les volatilités implicites des options à la monnaie ont été inférieures à celles qui sont plus éloignées de la monnaie ou loin de la monnaie. La raison de ce phénomène est que le marché évalue une plus grande probabilité d’un mouvement de forte volatilité à la baisse sur les marchés.

Cela a conduit à la présence d’un biais de volatilité. Lorsque les volatilités implicites pour les options avec la même  date d’expiration  sont cartographiées sur un graphique, un sourire ou une forme oblique peut être vu. Ainsi, le modèle de Black-Scholes n’est pas efficace pour calculer la volatilité implicite.

Limitations du modèle Black-Scholes

Comme indiqué précédemment, le modèle Black-Scholes n’est utilisé que pour évaluer les options européennes et ne tient pas compte du fait que les options américaines pourraient être exercées avant la date d’expiration. De plus, le modèle suppose que les dividendes et les taux sans risque sont constants, mais cela peut ne pas être vrai en réalité. Le modèle suppose également que la volatilité reste constante pendant toute la durée de vie de l’option, ce qui n’est pas le cas car la volatilité fluctue avec le niveau de l’offre et de la demande.

De plus, les autres hypothèses – qu’il n’y a pas de frais de transaction ou de taxes; que le taux d’intérêt sans risque est constant pour toutes les échéances; que la vente à découvert de titres avec utilisation du produit est autorisée; et qu’il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage sans risque – peut conduire à des prix qui s’écartent du monde réel où ces facteurs sont présents.

Questions fréquemment posées