Les usages et les limites de la volatilité

Les investisseurs aiment se concentrer sur la promesse de rendements élevés, mais ils devraient également se demander combien de risques ils doivent assumer en échange de ces rendements. Bien que nous parlions souvent de risque dans un sens général, il existe également des expressions formelles de la relation risque-récompense.

Par exemple, le ratio de Sharpe mesure le rendement excédentaire par unité de risque, où le risque est calculé comme la volatilité, qui est une mesure de risque traditionnelle et populaire. Ses propriétés statistiques sont bien connues et il alimente plusieurs cadres, tels que la théorie moderne du portefeuille et le modèle de Black-Scholes. Dans cet article, nous examinons la volatilité afin de comprendre ses usages et ses limites.

Écart-type annualisé

Contrairement à la volatilité implicite – qui appartient à la théorie du prix des options et qui est une estimation prospective basée sur un consensus du marché – la volatilité régulière regarde en arrière. Plus précisément, il est annualisé l’ écart type des rendements historiques.

Les cadres de risque traditionnels qui reposent sur l’écart-type supposent généralement que les rendements sont conformes à une distribution normale en forme de cloche. Les distributions normales nous donnent des directives pratiques: environ les deux tiers du temps (68,3%), les rendements doivent se situer dans un écart type (+/-); et 95% du temps, les rendements devraient se situer dans les deux écarts types. Deux qualités d’un graphe de distribution normale sont les « queues » maigres et la symétrie parfaite. Les queues maigres impliquent une occurrence très faible (environ 0,3% du temps) de rendements à plus de trois écarts-types de la moyenne. La symétrie implique que la fréquence et l’ampleur des gains à la hausse sont une image miroir des pertes à la baisse.

Par conséquent, les modèles traditionnels traitent toute incertitude comme un risque, quelle que soit la direction. Comme beaucoup de gens l’ont montré, c’est un problème si les rendements ne sont pas symétriques – les investisseurs s’inquiètent de leurs pertes «à gauche» de la moyenne, mais ils ne s’inquiètent pas des gains à droite de la moyenne.

Nous illustrons cette bizarrerie ci-dessous avec deux actions fictives. Le stock en baisse (ligne bleue) est absolument sans dispersion et produit donc une volatilité de zéro, mais le stock en hausse – parce qu’il présente plusieurs chocs haussiers mais pas une seule baisse – produit une volatilité (écart-type) de 10%.

Propriétés théoriques

Par exemple, lorsque nous calculons la volatilité de l’ indice S&P 500 au 31 janvier 2004, nous obtenons entre 14,7% et 21,1%. Pourquoi une telle gamme? Parce qu’il faut choisir à la fois un intervalle et une période historique. En ce qui concerne l’intervalle, nous pourrions collecter une série de rendements mensuels, hebdomadaires ou quotidiens (voire intra-quotidiens). Et notre série de rendements peut s’étendre sur une période historique de n’importe quelle durée, par exemple trois ans, cinq ans ou 10 ans. Ci-dessous, nous avons calculé l’écart type des rendements du S&P 500 sur une période de 10 ans, en utilisant trois intervalles différents:

Notez que la volatilité augmente à mesure que l’intervalle augmente, mais pas à peu près proportionnellement: l’hebdomadaire n’est pas près de cinq fois le montant quotidien et le mois n’est pas près de quatre fois l’hebdomadaire. Nous sommes arrivés à un aspect clé de la théorie de la marche aléatoire : les échelles d’écart-type (augmentent) proportionnellement à la racine carrée du temps. Par conséquent, si l’écart-type quotidien est de 1,1% et s’il y a 250 jours de négociation dans une année, l’écart-type annualisé est l’écart-type quotidien de 1,1% multiplié par la racine carrée de 250 (1,1% x 15,8 = 18,1%). Sachant cela, nous pouvons annualiser les écarts-types d’intervalle pour le S&P 500 en multipliant par la racine carrée du nombre d’intervalles dans une année:

Une autre propriété théorique de la volatilité peut vous surprendre ou non: elle érode les rendements. Cela est dû à l’hypothèse clé de l’idée de marche aléatoire: que les rendements sont exprimés en pourcentages. Imaginez que vous commencez avec 100 $, puis que vous gagnez 10% pour obtenir 110 $. Ensuite, vous perdez 10%, ce qui vous rapporte 99 $ (110 $ x 90% = 99 $). Ensuite, vous gagnez à nouveau 10%, pour net 108,90 $ (99 $ x 110% = 108,9 $). Enfin, vous perdez 10% pour un montant net de 98,01 $. Cela peut être contre-intuitif, mais votre capital s’érode lentement même si votre gain moyen est de 0%!

Si, par exemple, vous vous attendez à un gain annuel moyen de 10% par an (c’est-à-dire une moyenne arithmétique), il s’avère que votre gain attendu à long terme est inférieur à 10% par an. En fait, elle sera réduite d’environ la moitié de la variance (où la variance est l’écart type au carré). Dans l’hypothèse pure ci-dessous, nous commençons avec 100 $, puis imaginons cinq années de volatilité pour se terminer avec 157 $:

Les retours sont-ils bien comportés? Le cadre théorique est sans doute élégant, mais il dépend de rendements bien élevés. A savoir, une distribution normale et une marche aléatoire (ie indépendance d’une période à l’autre). Comment cela se compare-t-il à la réalité? Nous avons collecté les rendements quotidiens au cours des 10 dernières années pour le S&P 500 et le Nasdaq ci-dessous (environ 2500 observations quotidiennes):

Comme on peut s’y attendre, la volatilité du Nasdaq (écart-type annualisé de 28,8%) est supérieure à la volatilité du S&P 500 (écart-type annualisé à 18,1%). Nous pouvons observer deux différences entre la distribution normale et les rendements réels. Premièrement, les rendements réels ont des pics plus élevés – ce qui signifie une plus grande prépondérance des rendements près de la moyenne. Deuxièmement, les retours réels ont des queues plus grosses. (Nos résultats s’alignent quelque peu sur des études universitaires plus poussées, qui ont également tendance à trouver de grands pics et de grosses queues; le terme technique pour cela est kurtosis ). Disons que nous considérons moins trois écarts types comme une perte importante: le S&P 500 a subi une perte quotidienne de moins trois écarts types environ -3,4% du temps. La courbe normale prédit qu’une telle perte se produirait environ trois fois en 10 ans, mais cela s’est produit 14 fois!

Ce sont des distributions de rendements à intervalles séparés, mais que dit la théorie des rendements au fil du temps? À titre de test, jetons un coup d’œil aux distributions quotidiennes réelles du S&P 500 ci-dessus. Dans ce cas, le rendement annuel moyen (au cours des 10 dernières années) était d’environ 10,6% et, comme indiqué, la volatilité annualisée était de 18,1%. Ici, nous effectuons un essai hypothétique en commençant par 100 $ et en le conservant sur 10 ans, mais nous exposons chaque année l’investissement à un résultat aléatoire en moyenne de 10,6% avec un écart type de 18,1%. Cet essai a été fait 500 fois, ce qui en fait une simulation dite de Monte Carlo. Les résultats finaux des prix de 500 essais sont indiqués ci-dessous:

Une distribution normale est présentée comme toile de fond uniquement pour mettre en évidence les résultats de prix très anormaux. Techniquement, les résultats finaux des prix sont log-normaux (ce qui signifie que si l’axe des x était converti en logarithme naturel de x, la distribution semblerait plus normale). Le fait est que plusieurs résultats de prix sont bien à droite: sur 500 essais, six résultats ont produit un résultat de fin de période de 700 $! Ces quelques précieux résultats ont réussi à gagner plus de 20% en moyenne, chaque année, sur 10 ans. Du côté gauche, comme un solde dégressif réduit les effets cumulatifs des pertes en pourcentage, nous n’avons obtenu qu’une poignée de résultats finaux inférieurs à 50 $. Pour résumer une idée difficile, nous pouvons dire que les rendements d’intervalle – exprimés en termes de pourcentage – sont normalement distribués, mais les résultats de prix finaux sont log-normalement distribués.

Enfin, un autre résultat de nos essais est cohérent avec les «effets d’érosion» de la volatilité: si votre investissement gagnait exactement la moyenne chaque année, vous détiendriez environ 273 $ à la fin (10,6% composés sur 10 ans). Mais dans cette expérience, notre gain global attendu était plus proche de 250 $. En d’autres termes, le gain annuel moyen (arithmétique) était de 10,6%, mais le gain cumulatif (géométrique) était moindre.

Il est essentiel de garder à l’esprit que notre simulation suppose une marche aléatoire: elle suppose que les retours d’une période à l’autre sont totalement indépendants. Nous n’avons en aucun cas prouvé cela, et ce n’est pas une hypothèse triviale. Si vous pensez que les retours suivent les tendances, vous dites techniquement qu’ils montrent une corrélation sérielle positive. Si vous pensez qu’ils reviennent à la moyenne, alors techniquement, vous dites qu’ils montrent une corrélation sérielle négative. Aucune des deux positions n’est compatible avec l’indépendance.

La volatilité en bout de ligne est l’écart-type annualisé des rendements. Dans le cadre théorique traditionnel, il mesure non seulement le risque, mais influe sur les attentes de rendements à long terme (sur plusieurs périodes). En tant que tel, il nous demande d’accepter les hypothèses douteuses selon lesquelles les retours d’intervalle sont normalement distribués et indépendants. Si ces hypothèses sont vraies, une volatilité élevée est une arme à double tranchant: elle érode votre rendement attendu à long terme (elle réduit la moyenne arithmétique à la moyenne géométrique), mais elle vous offre également plus de chances de faire quelques gros gains.