Décomposition du modèle binomial pour valoriser une option

Dans le monde financier, les modèles Black-Scholes et les modèles de valorisation des options binomiales sont deux des concepts les plus importants de la théorie financière moderne. Les deux sont utilisés pour  valoriser une option, et chacun a ses propres avantages et inconvénients.

Certains des avantages de base de l’utilisation du modèle binomial sont:

• Une vue sur plusieurs périodes
• Transparence
• Capacité à incorporer des probabilités

Dans cet article, nous allons explorer les avantages de l’utilisation du modèle binomial au lieu du modèle Black-Scholes et fournir quelques étapes de base pour développer le modèle et expliquer comment il est utilisé.

Vue sur plusieurs périodes

Le modèle binomial offre une vue sur plusieurs périodes du prix de l’ actif sous-jacent ainsi que du prix de l’option. Contrairement au modèle Black-Scholes, qui fournit un résultat numérique basé sur des entrées, le modèle binomial permet le calcul de l’actif et l’option pour plusieurs périodes ainsi que la plage de résultats possibles pour chaque période (voir ci-dessous).

L’avantage de cette vue multi-période est que l’utilisateur peut visualiser l’évolution du prix de l’actif d’une période à l’autre et évaluer l’option en fonction de décisions prises à différents moments. Pour une option basée aux États-Unis, qui peut être exercée à tout moment avant la date d’expiration, le modèle binomial peut fournir un aperçu du moment où l’exercice de l’option peut être souhaitable et du moment où elle devrait être détenue pendant de plus longues périodes. En regardant l’ arbre binomial des valeurs, un commerçant peut déterminer à l’avance quand une décision sur un exercice peut survenir. Si l’option a une valeur positive, il y a possibilité d’exercice alors que si l’option a une valeur inférieure à zéro, elle doit être conservée plus longtemps.

Transparence

La capacité du modèle binomial à assurer la transparence de la valeur sous-jacente de l’actif et de l’option au fil du temps est étroitement liée à l’examen sur plusieurs périodes. Le modèle Black-Scholes a cinq entrées:

1. Le taux sans risque
2. Le prix d’exercice
3. Le prix actuel de l’actif
4. Temps de maturité
5. La volatilité implicite du prix de l’actif

Lorsque ces points de données sont saisis dans un modèle Black-Scholes, le modèle calcule une valeur pour l’option, mais les impacts de ces facteurs ne sont pas révélés d’une période à l’autre. Avec le modèle binomial, un trader peut voir le changement du prix de l’actif sous-jacent d’une période à l’autre et le changement correspondant du prix de l’ option.

Incorporer les probabilités

La méthode de base de calcul du modèle d’options binomiales consiste à utiliser la même probabilité à chaque période de succès et d’échec jusqu’à l’expiration de l’option. Cependant, un commerçant peut incorporer différentes probabilités pour chaque période en fonction de nouvelles informations obtenues au fil du temps.

Par exemple, il peut y avoir 50/50 de chances que le prix de l’actif sous-jacent augmente ou diminue de 30% en une période. Pour la deuxième période, cependant, la probabilité que le prix de l’actif sous-jacent augmente peut atteindre 70/30. Par exemple, si un investisseur évalue un puits de pétrole, cet investisseur n’est pas sûr de la valeur de ce puits de pétrole, mais il y a 50/50 de chances que le prix augmente. Si les prix du pétrole augmentent au cours de la période 1, ce qui rend le puits de pétrole plus précieux et si les fondamentaux du marché indiquent maintenant une augmentation continue des prix du pétrole, la probabilité d’une nouvelle appréciation des prix pourrait maintenant être de 70%. Le modèle binomial permet cette flexibilité; ce n’est pas le cas du modèle Black-Scholes.

Développer le modèle

Le modèle binomial le plus simple aura deux rendements attendus dont les probabilités totalisent 100%. Dans notre exemple, il y a deux résultats possibles pour le puits de pétrole à chaque instant. Une version plus complexe pourrait avoir trois résultats différents ou plus, chacun ayant une probabilité d’occurrence.

Pour calculer les rendements par période à partir du temps zéro (maintenant), nous devons déterminer la valeur de l’actif sous-jacent dans une période à partir de maintenant. Dans cet exemple, nous supposons ce qui suit:

• Prix ​​de l’actif sous-jacent (P): 500 $
• Prix ​​d’exercice de l’option d’achat (K): 600 $
• Taux sans risque pour la période: 1%
• Changement de prix à chaque période: 30% à la hausse ou à la baisse

Le prix de l’actif sous-jacent est de 500 $ et, au cours de la période 1, il peut valoir 650 $ ou 350 $. Ce serait l’équivalent d’une augmentation ou d’une diminution de 30% en une période. Étant donné que le prix d’exercice des options d’achat que nous détenons est de 600 $, si l’actif sous-jacent finit par être inférieur à 600 $, la valeur de l’ option d’achat serait de zéro. En revanche, si l’actif sous-jacent dépasse le prix d’exercice de 600 $, la valeur de l’option d’achat serait la différence entre le prix de l’actif sous-jacent et le prix d’exercice. La formule de ce calcul est [max (PK), 0].

Supposons qu’il y ait 50% de chances de monter et 50% de chances de redescendre. En utilisant les valeurs de la période 1 à titre d’exemple, cela est calculé comme suit:

max⁡
​munx[(6$50-600$),0]∗0.5+munx[(3$50-600$),0]∗0.5=5$0∗0.5+0$=25$​

Pour obtenir la valeur actuelle de l’option d’achat, nous devons actualiser les 25 $ de la période 1 à la période 0, qui est

Vous pouvez maintenant voir que si les probabilités sont modifiées, la valeur attendue de l’actif sous-jacent changera également. Si la probabilité doit être modifiée, elle peut également l’être pour chaque période ultérieure et ne doit pas nécessairement rester la même tout au long.

Le modèle binomial peut être étendu facilement à plusieurs périodes. Bien que le modèle Black-Scholes puisse calculer le résultat d’une date d’expiration prolongée, le modèle binomial étend les points de décision à plusieurs périodes.

Utilisations pour le modèle binomial

En plus de son utilisation comme méthode de calcul de la valeur d’une option, le modèle binomial peut également être utilisé pour des projets ou des investissements avec un degré élevé d’incertitude, des décisions de budgétisation en capital et d’allocation des ressources, et des projets avec plusieurs périodes ou un option intégrée pour continuer ou abandonner le projet à certains moments.

Un exemple simple est un projet impliquant des forages pétroliers. L’incertitude de ce type de projet quant à savoir si le terrain foré contient du pétrole, la quantité de pétrole qui peut être forée, si le pétrole est trouvé, et le prix auquel le pétrole peut être vendu une fois extrait.

Le modèle d’option binomiale peut aider à prendre des décisions à chaque point du projet de forage pétrolier. Par exemple, supposons que nous décidions de forer, mais le puits de pétrole ne sera rentable que si nous trouvons suffisamment de pétrole et que le prix du pétrole dépasse un certain montant. Il faudra une période complète pour déterminer la quantité de pétrole que nous pouvons extraire ainsi que le prix du pétrole à ce moment-là. Après la première période (un an par exemple), nous pouvons décider sur la base de ces deux points de données de continuer à forer ou d’abandonner le projet. Ces décisions peuvent être prises en continu jusqu’à ce qu’un point soit atteint où il n’y a aucune valeur au forage, moment auquel le puits sera abandonné.

La ligne de fond

Le modèle binomial donne une vue plus détaillée en permettant des vues sur plusieurs périodes du prix de l’actif sous-jacent et du prix de l’option pour plusieurs périodes ainsi que la gamme des résultats possibles pour chaque période. Alors que le modèle Black-Scholes et le modèle binomial peuvent être utilisés pour évaluer les options, le modèle binomial a une plus large gamme d’applications, est plus intuitif et est plus facile à utiliser.