Optimisez votre portefeuille en utilisant la distribution normale
Table des matières
Développer
- Distribution normale (courbe en cloche)
- Risque et retours
- Théorie du portefeuille moderne
- Les blocs de construction
- Un exemple rapide de MPT
- Défis du MPT et de la distribution
- La ligne de fond
La distribution normale est la distribution de probabilité qui trace toutes ses valeurs de manière symétrique avec la plupart des résultats situés autour de la moyenne de la probabilité.
Distribution normale (courbe en cloche)
Les ensembles de données (comme la taille de 100 humains, les notes obtenues par 45 élèves dans une classe, etc.) ont tendance à avoir plusieurs valeurs au même point de données ou dans la même plage. Cette distribution des points de données est appelée distribution normale ou courbe en cloche.
Par exemple, dans un groupe de 100 individus, 10 peuvent mesurer moins de 5 pieds de haut, 65 peuvent mesurer entre 5 et 5,5 pieds et 25 peuvent mesurer plus de 5,5 pieds. Cette distribution liée à la plage peut être tracée comme suit:
De même, les points de données tracés dans les graphiques pour un ensemble de données donné peuvent ressembler à différents types de distributions. Trois des distributions les plus courantes sont les distributions alignées à gauche, alignées à droite et mélangées:
Notez la courbe de tendance rouge dans chacun de ces graphiques. Cela indique à peu près la tendance de la distribution des données. La première, «Distribution alignée à GAUCHE», indique qu’une majorité des points de données se situe dans la plage inférieure. Dans le deuxième graphique «Distribution alignée à DROITE», la majorité des points de données se situent dans la partie supérieure de la plage, tandis que le dernier, «Distribution gommée», représente un ensemble de données mixtes sans tendance claire.
Il existe de nombreux cas dans lesquels la distribution des points de données a tendance à être autour d’une valeur centrale, et ce graphique montre une distribution normale parfaite – également équilibrée des deux côtés, avec le plus grand nombre de points de données concentrés au centre.
Voici un ensemble de données parfait et normalement distribué:
La valeur centrale ici est 50 (qui a le plus grand nombre de points de données), et la distribution diminue uniformément vers les valeurs extrêmes de 0 et 100 (qui ont le moins de points de données). La distribution normale est symétrique autour de la valeur centrale avec la moitié des valeurs de chaque côté.
De nombreux exemples réels correspondent à la distribution de la courbe en cloche:
- Lancez une bonne pièce plusieurs fois (disons 100 fois ou plus) et vous obtiendrez une répartition normale équilibrée des têtes et des queues.
- Lancez plusieurs fois une paire de dés équitables (disons 100 fois ou plus) et le résultat sera une distribution normale et équilibrée centrée autour du chiffre 7 et diminuant uniformément vers les valeurs extrêmes de 2 et 12.
- La taille des individus dans un groupe de taille considérable et les notes obtenues par les personnes d’une classe suivent toutes deux des schémas de distribution normaux.
- En finance, les variations des valeurs logarithmiques des taux de change, des indices de prix et des cours des actions sont supposées être normalement distribuées.
Risque et retours
Tout investissement a deux aspects: le risque et le rendement. Les investisseurs recherchent le risque le plus bas possible pour le rendement le plus élevé possible. La distribution normale quantifie ces deux aspects par la moyenne des rendements et l’ écart type du risque.
Valeur moyenne ou attendue
Un changement moyen particulier du prix d’une action pourrait être de 1,5% sur une base quotidienne, ce qui signifie qu’en moyenne, il augmente de 1,5%. Cette valeur moyenne ou valeur attendue signifiant un retour peut être obtenue en calculant la moyenne sur un ensemble de données suffisamment grand contenant l’historique des variations de prix quotidiennes de ce stock. Plus la moyenne est élevée, mieux c’est.
Écart-type
L’écart-type indique la valeur par laquelle les valeurs s’écartent en moyenne de la moyenne. Plus l’écart-type est élevé, plus l’investissement est risqué, car il conduit à plus d’incertitude.
Voici une représentation graphique de la même chose:
Par conséquent, la représentation graphique de la distribution normale à travers sa moyenne et son écart-type permet la représentation à la fois des rendements et du risque dans une plage clairement définie.
Il est utile de savoir (et d’être assuré avec certitude) que si un ensemble de données suit le modèle de distribution normal, sa moyenne nous permettra de savoir à quoi s’attendre, et son écart-type nous permettra de savoir qu’environ 68% des valeurs sera dans 1 écart type, 95% dans 2 écarts types et 99% des valeurs tomberont dans 3 écarts types. Un ensemble de données qui a une moyenne de 1,5 et un écart type de 1 est beaucoup plus risqué qu’un autre ensemble de données ayant une moyenne de 1,5 et un écart type de 0,1.
Connaître ces valeurs pour chaque actif sélectionné (c.-à-d. Actions, obligations et fonds) rendra l’investisseur conscient des rendements et des risques attendus.
Il est facile d’appliquer ce concept et de représenter le risque et le rendement d’une seule action, obligation ou fonds. Mais cela peut-il être étendu à un portefeuille d’actifs multiples?
Les particuliers commencent à négocier en achetant une seule action ou obligation ou en investissant dans un fonds commun de placement. Progressivement, ils ont tendance à augmenter leurs avoirs et à acheter plusieurs actions, fonds ou autres actifs, créant ainsi un portefeuille. Dans ce scénario progressif, les individus construisent leurs portefeuilles sans stratégie ni trop de prévoyance. Les gestionnaires de fonds professionnels, les traders et les teneurs de marché suivent une méthode systématique pour construire leur portefeuille en utilisant une approche mathématique appelée théorie moderne du portefeuille (MPT) qui est fondée sur le concept de «distribution normale».
Théorie du portefeuille moderne
La théorie moderne du portefeuille (MPT) propose une approche mathématique systématique qui vise à maximiser le rendement attendu d’ un portefeuille pour un montant donné de risque de portefeuille en sélectionnant les proportions de divers actifs. Alternativement, il propose également de minimiser le risque pour un niveau donné de rendement attendu.
Pour atteindre cet objectif, les actifs à inclure dans le portefeuille ne doivent pas être sélectionnés uniquement en fonction de leur propre mérite individuel, mais plutôt en fonction de la performance de chaque actif par rapport aux autres actifs du portefeuille.
En un mot, MPT définit la meilleure façon de parvenir à une diversification du portefeuille pour les meilleurs résultats possibles: des rendements maximaux pour un niveau de risque acceptable ou un risque minimal pour un niveau de rendement souhaité.
Les blocs de construction
Le MPT était un concept tellement révolutionnaire lorsqu’il a été introduit que ses inventeurs ont remporté un prix Noble. Cette théorie a fourni avec succès une formule mathématique pour guider la diversification dans l’investissement.
La diversification est une technique de gestion du risque qui supprime le risque «tous les œufs dans un même panier» en investissant dans des actions, des secteurs ou des classes d’actifs non corrélés. Idéalement, la performance positive d’un actif du portefeuille annulera la performance négative d’autres actifs.
Pour prendre le rendement moyen du portefeuille qui a n actifs différents, la combinaison proportionnelle des rendements des actifs constituants est calculée.
En raison de la nature des calculs statistiques et de la distribution normale, le rendement global du portefeuille (R p ) est calculé comme suit:
La somme (∑), où w i est le poids proportionnel de l’actif i dans le portefeuille, R i est le rendement (moyen) de l’actif i.
Le risque de portefeuille (ou écart type) est fonction des corrélations des actifs inclus, pour toutes les paires d’actifs (les unes par rapport aux autres dans la paire).
En raison de la nature des calculs statistiques et de la distribution normale, le risque global du portefeuille (Std-dev) p est calculé comme suit:
(Stré-réev)p=sqrt
(Std-dev)p=sqrt[je∑j∑wjewj(std-dev)je(std-dev)j(cor-cofjej)]
Ici, cor-cof est le coefficient de corrélation entre les rendements des actifs i et j, et sqrt est la racine carrée.
Cela prend en charge la performance relative de chaque actif par rapport à l’autre.
Bien que cela semble mathématiquement complexe, le concept simple appliqué ici inclut non seulement les écarts-types des actifs individuels, mais aussi les écarts les uns par rapport aux autres.
Un bon exemple est disponible ici à l’Université de Washington.
Un exemple rapide de MPT
À titre d’expérimentation de réflexion, imaginons que nous sommes un gestionnaire de portefeuille qui a reçu du capital et qui est chargé du montant du capital à allouer à deux actifs disponibles (A et B) afin que le rendement attendu soit maximisé et que le risque soit réduit.
Nous avons également les valeurs suivantes disponibles:
R a = 0,175
R b = 0,055
(Écart-type) a = 0,258
(Écart-type) b = 0,115
(Std-dev) ab = -0,004875
(Cor-cof) ab = -0,164
En commençant par une allocation égale à 50-50 pour chaque actif A et B, le R p se calcule à 0,115 et (Std-dev) p s’élève à 0,1323. Une simple comparaison nous indique que pour ce portefeuille de 2 actifs, le rendement et le risque se situent à mi-chemin entre les valeurs individuelles de chaque actif.
Cependant, notre objectif est d’améliorer le rendement du portefeuille au-delà de la simple moyenne de l’un ou l’autre actif individuel et de réduire le risque, de sorte qu’il soit inférieur à celui des actifs individuels.
Prenons maintenant une position d’ allocation de capital de 1,5 dans l’actif A et une position d’allocation de capital de -0,5 dans l’actif B. (Une allocation de capital négative signifie que le stock et le capital reçus sont utilisés pour acheter l’ excédent de l’autre actif avec une allocation de capital positive. En d’autres termes, nous vendons l’action B pour 0,5 fois le capital et utilisons cet argent pour acheter l’action A pour un montant 1,5 fois le capital.)
En utilisant ces valeurs, nous obtenons R p comme 0,1604 et (Std-dev) p comme 0,4005.
De même, nous pouvons continuer à utiliser des pondérations d’allocation différentes pour les actifs A et B, et arriver à différents ensembles de Rp et (Std-dev) p. En fonction du rendement souhaité (Rp), on peut choisir le niveau de risque le plus acceptable (std-dev) p. Alternativement, pour le niveau de risque souhaité, on peut sélectionner le meilleur rendement de portefeuille disponible. Quoi qu’il en soit, grâce à ce modèle mathématique de la théorie du portefeuille, il est possible d’atteindre l’objectif de création d’un portefeuille efficace avec la combinaison risque / rendement souhaitée.
L’utilisation d’outils automatisés permet de détecter facilement et en douceur les meilleures proportions allouées possibles facilement, sans avoir besoin de longs calculs manuels.
La frontière efficace, le modèle de tarification des immobilisations (CAPM) et la tarification des actifs utilisant MPT évoluent également à partir du même modèle de distribution normal et sont une extension de MPT.
Défis du MPT (et de la distribution normale sous-jacente)
Malheureusement, aucun modèle mathématique n’est parfait et chacun présente des insuffisances et des limites.
L’hypothèse de base selon laquelle les rendements des actions suivent la distribution normale elle-même est remise en question à maintes reprises. Il existe une preuve empirique suffisante des cas où les valeurs ne respectent pas la distribution normale supposée. Baser des modèles complexes sur de telles hypothèses peut conduire à des résultats comportant de grands écarts.
En allant plus loin dans le MPT, les calculs et les hypothèses concernant le coefficient de corrélation et la covariance qui restent fixes (sur la base de données historiques) ne sont pas nécessairement valables pour les valeurs attendues futures. Par exemple, les marchés obligataires et boursiers ont montré une corrélation parfaite sur le marché britannique de 2001 à 2004, où les rendements des deux actifs ont baissé simultanément. En réalité, l’inverse a été observé sur de longues périodes historiques antérieures à 2001.
Le comportement des investisseurs n’est pas pris en compte dans ce modèle mathématique. Les impôts et les coûts de transaction sont négligés, même si une allocation fractionnée du capital et la possibilité de vendre des actifs à découvert sont supposées.
En réalité, aucune de ces hypothèses ne peut être vraie, ce qui signifie que les rendements financiers réalisés peuvent différer considérablement des bénéfices attendus.
La ligne de fond
Les modèles mathématiques fournissent un bon mécanisme pour quantifier certaines variables avec des nombres uniques et traçables. Mais en raison des limites des hypothèses, les modèles peuvent échouer.
La distribution normale, qui forme la base de la théorie du portefeuille, ne s’applique pas nécessairement aux actions et aux autres modèles de prix des actifs financiers. La théorie du portefeuille en elle-même comporte de nombreuses hypothèses qui doivent être examinées de manière critique avant de prendre des décisions financières importantes.