Test d’hypothèses en finance: concept et exemples

Points clés à retenir

• Le test d’hypothèse est un outil mathématique pour confirmer une affirmation ou une idée financière ou commerciale.
• Le test d’hypothèse est utile pour les investisseurs qui tentent de décider dans quoi investir et si l’instrument est susceptible de fournir un rendement satisfaisant.
• Malgré l’existence de différentes méthodologies de test d’hypothèse, les quatre mêmes étapes sont utilisées: définir l’hypothèse, définir les critères, calculer la statistique et parvenir à une conclusion.
• Ce modèle mathématique, comme la plupart des outils et modèles statistiques, a des limites et est sujet à certaines erreurs, obligeant les investisseurs à considérer également d’autres modèles en conjonction avec celui-ci.

Cet article suppose que les lecteurs sont familiarisés avec les concepts de table de distribution normale, de formule, de valeur p et des bases de statistiques connexes.

Différentes méthodologies existent pour le test d’hypothèse, mais les quatre mêmes étapes de base sont impliquées:

Étape 1: définir l’hypothèse

Habituellement, la valeur déclarée (ou les statistiques de sinistres) est énoncée comme hypothèse et présumée vraie. Pour les exemples ci-dessus, l’hypothèse sera:

• Exemple A: Les élèves de l’école obtiennent en moyenne 7 sur 10 aux examens.
• Exemple B: Le rendement annuel du fonds commun de placement est de 8% par an.

Les critères de décision doivent être basés sur certains paramètres des ensembles de données.

Étape 2: définir les critères

Les critères de prise de décision doivent être basés sur certains paramètres des ensembles de données et c’est là que la connexion à la distribution normale entre en jeu.

Selon le postulat statistique standard  sur la distribution d’échantillonnage, «Pour toute taille d’échantillon n, la distribution d’échantillonnage de X̅ est normale si la population X à partir de laquelle l’échantillon est tiré est normalement distribuée.» Par conséquent, les probabilités de tous les autres échantillons possibles signifient que l’on pourrait sélectionner sont normalement distribuées.

Par exemple, déterminez si le rendement quotidien moyen, de toute action cotée sur le marché boursier XYZ, autour du jour de l’an est supérieur à 2%.

H 0 : Hypothèse nulle: moyenne = 2%

H 1 : Hypothèse alternative: moyenne> 2% (c’est ce que nous voulons prouver)

Prenez l’échantillon (disons 50 stocks sur un total de 500) et calculez la moyenne de l’échantillon.

Pour une distribution normale, 95% des valeurs se situent à l’intérieur de deux écarts types de la moyenne de la population. Par conséquent, cette distribution normale et cette hypothèse de limite centrale pour l’ensemble de données de l’échantillon nous permettent d’établir 5% comme niveau de signification. Cela a du sens car, sous cette hypothèse, il y a moins de 5% de probabilité (100-95) d’obtenir des valeurs aberrantes qui sont au-delà de deux écarts-types par rapport à la moyenne de la population. Selon la nature des ensembles de données, d’autres niveaux de signification peuvent être pris à 1%, 5% ou 10%. Pour les calculs financiers (y compris la finance comportementale), 5% est la limite généralement acceptée. Si nous trouvons des calculs qui vont au-delà des deux écarts types habituels, alors nous avons un cas fort de valeurs aberrantes pour rejeter l’hypothèse nulle. 

Graphiquement, il est représenté comme suit:

Dans l’exemple ci-dessus, si la moyenne de l’échantillon est bien supérieure à 2% (disons 3,5%), nous rejetons l’hypothèse nulle. L’hypothèse alternative (moyenne> 2%) est acceptée, ce qui confirme que le rendement quotidien moyen des stocks est bien supérieur à 2%.

Cependant, si la moyenne de l’échantillon n’est pas susceptible d’être significativement supérieure à 2% (et reste, disons, autour de 2,2%), alors nous NE POUVONS PAS rejeter l’hypothèse nulle. Le défi est de savoir comment décider de ces cas rapprochés. Pour tirer une conclusion à partir d’échantillons et de résultats sélectionnés, un niveau de signification doit être déterminé, ce qui permet de tirer une conclusion sur l’hypothèse nulle. L’hypothèse alternative permet d’établir le niveau de signification ou le concept de «valeur critique» pour décider de ces cas proches.

Selon ladéfinition standard du manuel, «Une valeur critique est une valeur seuil qui définit les limites au-delà desquelles moins de 5% des moyennes d’échantillon peuvent être obtenues si l’hypothèse nulle est vraie. Les moyennes d’échantillon obtenues au-delà d’une valeur critique aboutiront à une décision de rejeter l’hypothèse nulle.  » Dans l’exemple ci-dessus, si nous avons défini la valeur critique à 2,1% et que la moyenne calculée atteint 2,2%, alors nous rejetons la valeur critique hypothèse nulle Une valeur critique établit une démarcation claire concernant l’acceptation ou le rejet.

Étape 3: Calculez la statistique

Cette étape consiste à calculer le ou les chiffres requis, appelés statistiques de test (comme la moyenne, le score z, la valeur p, etc.), pour l’échantillon sélectionné. (Nous y reviendrons dans une section ultérieure.)

Étape 4: parvenir à une conclusion

Avec la ou les valeurs calculées, décidez de l’hypothèse nulle. Si la probabilité d’obtenir une moyenne d’échantillon est inférieure à 5%, la conclusion est de rejeter l’hypothèse nulle. Sinon, acceptez et conservez l’hypothèse nulle.

Types d’erreurs

Il peut y avoir quatre résultats possibles dans la prise de décision par échantillonnage, en ce qui concerne l’applicabilité correcte à l’ensemble de la population:

Les cas «corrects» sont ceux où les décisions prises sur les échantillons sont réellement applicables à l’ensemble de la population. Les cas d’erreurs surviennent lorsque l’on décide de retenir (ou de rejeter) l’hypothèse nulle basée sur les calculs d’échantillons, mais cette décision ne s’applique pas vraiment à l’ensemble de la population. Ces cas constituent des erreurs de type 1 ( alpha ) et de type 2 ( bêta ), comme indiqué dans le tableau ci-dessus.

La sélection de la valeur critique correcte permet d’éliminer les erreurs alpha de type 1 ou de les limiter à une plage acceptable.

Alpha dénote l’erreur sur le niveau de signification et est déterminé par le chercheur. Pour maintenir le niveau de signification ou de confiance standard de 5% pour les calculs de probabilité, celui-ci est maintenu à 5%.

Selon les référentiels décisionnels et définitions applicables:

• «Ce critère (alpha) est généralement fixé à 0,05 (a = 0,05), et nous comparons le niveau alpha à la valeur p. Lorsque la probabilité d’une erreur de type I est inférieure à 5% (p <0,05), nous décidons de rejeter l’hypothèse nulle;sinon, nous retenons l’hypothèse nulle. »
• Le terme technique utilisé pour cette probabilité est lavaleur p. Elle est définie comme «la probabilité d’obtenir un résultat d’échantillon, étant donné que la valeur indiquée dans l’hypothèse nulle est vraie. La valeur p pour obtenir un résultat d’échantillon est comparée au niveau de signification. « 
• Une erreur de type II, ou erreur bêta, est définie comme la probabilité de retenir incorrectement l’hypothèse nulle, alors qu’en fait elle n’est pas applicable à l’ensemble de la population.

Méthode 1: Approche de la valeur critique

Identifier une valeur critique X L pour la moyenne de l’échantillon, qui est suffisamment grande pour rejeter l’hypothèse nulle – c’est-à-dire rejeter l’hypothèse nulle si la moyenne de l’échantillon> = valeur critique X L

P (identifier une erreur alpha de type I) = P (rejeter H 0  étant donné que H 0  est vrai),

Ceci serait réalisé lorsque la moyenne de l’échantillon dépasse les limites critiques.

= P (étant donné que H 0  est vrai) = alpha

Graphiquement, il se présente comme suit:

En prenant alpha = 0,05 (soit un niveau de signification de 5%), Z 0,05  = 1,645 (à partir du tableau Z ou du tableau de distribution normale)

=> X L  = 180 + 1,645 * (75 / sqrt (300)) = 187,12

Étant donné que la moyenne de l’échantillon (190) est supérieure à la valeur critique (187,12), l’hypothèse nulle est rejetée et la conclusion est que le rendement mensuel moyen est effectivement supérieur à 180 $, de sorte que l’investisseur peut envisager d’investir dans ce système.