Pariez plus intelligemment avec la simulation de Monte Carlo

Dans le domaine de la finance, l’estimation de la valeur future des chiffres ou des montants comporte un certain degré d’incertitude et de risque en raison de la grande variété de résultats potentiels. La simulation de Monte Carlo (MCS) est une technique qui aide à réduire l’incertitude impliquée dans l’estimation des résultats futurs. MCS peut être appliqué à des modèles complexes et non linéaires ou utilisé pour évaluer la précision et les performances d’autres modèles. Il peut également être mis en œuvre dans la gestion des risques, la gestion de portefeuille, la tarification des dérivés, la planification stratégique, la planification de projets, la modélisation des coûts et d’autres domaines.

Définition

MCS est une technique qui convertit les incertitudes des variables d’entrée d’un modèle en distributions de probabilité. En combinant les distributions et en sélectionnant aléatoirement leurs valeurs, il recalcule le modèle simulé plusieurs fois et fait ressortir la probabilité de la sortie.

Caractéristiques de base

• MCS permet d’utiliser plusieurs entrées en même temps pour créer la distribution de probabilité d’une ou plusieurs sorties.
• Différents types de distributions de probabilité peuvent être attribués aux entrées du modèle. Lorsque la distribution est inconnue, celle qui représente le meilleur ajustement peut être choisie.
• L’utilisation de nombres aléatoires caractérise MCS comme une méthode stochastique. Les nombres aléatoires doivent être indépendants; aucune corrélation ne doit exister entre eux.
• MCS génère la sortie sous la forme d’une plage au lieu d’une valeur fixe et indique la probabilité que la valeur de sortie se produise dans la plage.

Quelques distributions de probabilités fréquemment utilisées dans MCS

Distribution normale / gaussienne  – Distribution continue appliquée dans les situations où la moyenne et l’ écart type sont donnés et la moyenne représente la valeur la plus probable de la variable. Il est symétrique autour de la moyenne et n’est pas borné.

Distribution lognormale  – Distribution continue spécifiée par la moyenne et l’écart type. Ceci est approprié pour une variable allant de zéro à l’infini, avec une asymétrie positiveet avec un logarithme naturel normalement distribué.

Distribution triangulaire  – Distribution continue avec des valeurs minimales et maximales fixes. Elle est limitée par les valeurs minimale et maximale et peut être symétrique (la valeur la plus probable = moyenne = médiane) ou asymétrique.

Distribution uniforme  – Distribution continue limitée par des valeurs minimales et maximales connues. Contrairement à la distribution triangulaire, la probabilité d’occurrence des valeurs entre le minimum et le maximum est la même.

Distribution exponentielle  – Distribution continue utilisée pour illustrer le temps entre les occurrences indépendantes, à condition que le taux d’occurrences soit connu.

Les mathématiques derrière MCS

Considérons que nous avons une fonction à valeur réelle g (X) avec la fonction de fréquence de probabilité P (x) (si X est discret), ou la fonction de densité de probabilité f (x) (si X est continu). Ensuite, nous pouvons définir la valeur attendue de g (X) en termes discrets et continus respectivement:

gnμ(X)=1n∑je=1ng(Xje), which represents the final simulatedvalue of E(g(X)). Lherefore gnμ(X)=1n∑je=1ng(X) will be the Monte Carloestimator of E(g(X)). Uns n→∞,gnμ(X)→E(g(X)),lhus we are now able tocompute the dispersion around the estimated mean withlhe unbiased variance of gnμ(X):Vuner(gnμ(X))=1n-1∑je=1n(g(Xje)-gnμ(X))2.\ begin {aligné} & g ^ \ mu_n (x) = \ frac {1} {n} \ sum ^ n_ {i = 1} g (x_i), \ text {qui représente la simulation finale} \\ & \ text { valeur de} E (g (X)). \\\\ & \ text {Donc} g ^ \ mu_n (X) = \ frac {1} {n} \ sum ^ n_ {i = 1} g (X) \ text {sera l’estimateur Monte Carlo} \\ & \ text {de} E (g (X)). \\\\ & \ text {As} n \ to \ infty, g ^ \ mu_n (X) \ à E (g (X)), \ text {ainsi nous pouvons maintenant} \\ & \ text {calculer la dispersion autour de la moyenne estimée avec} \\ & \ text {la variance non biaisée de} g ^ \ mu_n ( X) \ text {:} \\ & Var (g ^ \ mu_n (X)) = \ frac {1} {n-1} \ sum ^ n_ {i = 1} (g (x_i) -g ^ \ mu_n ( x)) ^ 2. \ end {aligné}​gnμ​(x)=n

Exemple simple

Comment l’incertitude sur le prix unitaire, les ventes unitaires et les coûts variables affectera- t-elle l’ EBITD?

Copyright Unit Sales) – ( Coûts variables + Coûts fixes )

Expliquons l’incertitude sur les intrants – prix unitaire, ventes unitaires et coûts variables – en utilisant une distribution triangulaire, spécifiée par les valeurs minimales et maximales respectives des intrants du tableau.

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Tableau de sensibilité

Un graphique de sensibilité peut être très utile pour analyser l’effet des entrées sur la sortie. Ce qu’il dit, c’est que les ventes unitaires représentent 62% de la variance de l’EBITD simulé, les coûts variables pour 28,6% et le prix unitaire pour 9,4%. La corrélation entre les ventes unitaires et l’EBITD et entre le prix unitaire et l’EBITD est positive ou une augmentation des ventes unitaires ou du prix unitaire entraînera une augmentation de l’EBITD. Les coûts variables et l’EBITD, en revanche, sont négativement corrélés, et en diminuant les coûts variables, nous augmenterons l’EBITD.

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Attention, définir l’incertitude d’une valeur d’entrée par une distribution de probabilité qui ne correspond pas à la vraie et l’échantillonnage à partir de celle-ci donnera des résultats incorrects. De plus, l’hypothèse selon laquelle les variables d’entrée sont indépendantes peut ne pas être valide. Des résultats trompeurs peuvent provenir d’entrées qui s’excluent mutuellement ou si une corrélation significative est trouvée entre deux ou plusieurs distributions d’entrées.

La ligne de fond

La technique MCS est simple et flexible. Il ne peut pas éliminer l’incertitude et le risque, mais il peut les rendre plus faciles à comprendre en attribuant des caractéristiques probabilistes aux entrées et aux sorties d’un modèle. Il peut être très utile pour déterminer les différents risques et facteurs qui affectent les variables prévues et, par conséquent, il peut conduire à des prévisions plus précises. Notez également que le nombre d’essais ne doit pas être trop petit, car il pourrait ne pas être suffisant pour simuler le modèle, ce qui entraînerait un regroupement des valeurs.