Calcul de la volatilité historique dans Excel

Table des matières

Développer

• Mesurer la variation de l’actif
• Calcul de la volatilité historique
• Volatilité annualisée
• Simulation dans Excel

La valeur des actifs financiers varie quotidiennement. Les investisseurs ont besoin d’un indicateur pour quantifier ces changements souvent difficiles à prévoir. L’offre et la demande sont les deux principaux facteurs qui affectent les variations des prix des actifs. En retour, les mouvements de prix reflètent une amplitude de fluctuations, qui sont à l’origine de profits et de pertes proportionnels. Du point de vue de l’investisseur, l’incertitude entourant de telles influences et fluctuations est appelée risque.

Le prix d’une option dépend de sa capacité sous-jacente à se déplacer, ou en d’autres termes de sa capacité à être volatile. Plus il est susceptible de se déplacer, plus sa prime sera plus chère près de l’expiration. Ainsi, le calcul de la volatilité d’un actif sous-jacent aide les investisseurs à évaluer les dérivés en fonction de cet actif.

Mesurer la variation de l’actif

Une façon de mesurer la variation d’un actif consiste à quantifier les rendements quotidiens (mouvement en pourcentage sur une base quotidienne) de l’actif. Cela nous amène à la définition et au concept de la volatilité historique. La volatilité historique est basée sur les prix historiques et représente le degré de variabilité des rendements d’un actif. Ce nombre est sans unité et est exprimé en pourcentage.

Calcul de la volatilité historique

Si on appelle P (t) le prix d’un actif financier (actif de change, actions, paire de devises, etc.) au temps t et P (t-1) le prix de l’actif financier à t-1, on définit le rendement quotidien r (t) de l’actif au temps t par:

r (t) = ln (P (t) / P (t-1))

où Ln (x) = fonction logarithmique naturelle.

Le rendement total  R au temps t est:

R = r1 + r2 + r3 + 2 +… + rt-1 + rt,

ce qui équivaut à:

R = Ln (P1 / P0) +… Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1)

Nous avons l’égalité suivante:

Ln (a) + Ln (b) = Ln (a * b)

Donc, cela donne:

R = Ln [(P1 / P0 * (P2 / P1) *… (Pt / Pt-1]

R = Ln [(P1. P2… Pt-1. Pt) / (P0. P1. P2… Pt-2. Pt-1)]

Et, après simplification, nous avons:

R = Ln (Pt / P0).

Le rendement est généralement calculé comme la différence des variations de prix relatifs. Cela signifie que si un actif a un prix de P (t) au temps t et P (t + h) au temps t + h> t, le rendement (r) est:

r = (P (t + t) -P (t)) / P (t) = [P (t + h) / P (t)] – 1

Lorsque le rendement est faible, comme quelques pour cent seulement, nous avons:

r ≈ Ln (1 + r)

On peut remplacer r par le logarithme du prix courant puisque:

r ≈ Ln (1 + r)

r ≈ Ln (1 + ([P (t + h) / P (t)] – 1))

r ≈ Ln (P (t + h) / P (t))

A partir d’une série de cours de clôture par exemple, il suffit de prendre le logarithme du rapport de deux prix consécutifs pour calculer les rendements quotidiens r (t).

Ainsi, on peut également calculer le rendement total R en n’utilisant que les prix initiaux et finaux.

Volatilité annualisée

Pour apprécier pleinement les différentes volatilités sur une période d’un an, nous multiplions cette volatilité par un facteur qui rend compte de la variabilité des actifs sur un an.

Pour ce faire, nous utilisons la variance. La variance est le carré de l’écart par rapport aux rendements quotidiens moyens pour une journée.

Pour calculer le carré des écarts par rapport aux rendements quotidiens moyens pendant 365 jours, nous multiplions la variance par le nombre de jours (365). L’écart type annualisé est obtenu en prenant la racine carrée du résultat:

Variance = σ² par jour = [Σ (r (t)) ² / (n – 1)]

Pour la variance annualisée, si nous supposons que l’année est de 365 jours, et que chaque jour a la même variance quotidienne, σ²daily, nous obtenons:

Variance annualisée = 365. σ² Variance annualisée quotidienne
= 365. [Σ (r (t)) ² / (n – 1)]

Enfin, comme la volatilité est définie comme la racine carrée de la variance:

Volatilité = √ (variance annualisée)

Volatilité = √ (365. Σ² par jour)

Volatilité = √ (365 [Σ (r (t)) ² / (n – 1)].)

Simulation