17 avril 2021 21:41

Explorer la moyenne mobile pondérée exponentiellement

La volatilité est la mesure du risque la plus courante, mais elle se décline en plusieurs saveurs. Dans un article précédent, nous avons montré comment calculer une volatilité historique simple. Dans cet article, nous allons améliorer la volatilité simple et discuter de la moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA).

Volatilité historique vs implicite

Tout d’abord, mettons cette métrique en perspective. Il existe deux grandes approches: la volatilité historique et implicite (ou implicite). L’approche historique suppose que le passé est un prologue; nous mesurons l’histoire dans l’espoir qu’elle soit prédictive. La volatilité implicite, en revanche, ignore l’histoire; il résout la volatilité impliquée par les prix du marché. Il espère que le marché sait le mieux et que le prix du marché contient, même implicitement, une estimation consensuelle de la volatilité.

Si nous nous concentrons uniquement sur les trois approches historiques (à gauche ci-dessus), elles ont deux étapes en commun:

  1. Calculer la série de rendements périodiques
  2. Appliquer un schéma de pondération

Premièrement, nous calculons le rendement périodique. Il s’agit généralement d’une série de rendements quotidiens où chaque rendement est exprimé en termes continuellement composés. Pour chaque jour, nous prenons le logarithme naturel du ratio des cours des actions (c’est-à-dire le prix d’aujourd’hui divisé par le prix d’hier, et ainsi de suite).

Cela produit une série de rendements quotidiens, de u i à u i-m, en fonction du nombre de jours (m = jours) que nous mesurons.

Cela nous amène à la deuxième étape: c’est là que les trois approches diffèrent. Dans l’article précédent, nous avons montré que sous quelques simplifications acceptables, la variance simple est la moyenne des rendements au carré:

Variance=σn2=1m∑je=1mun-12where:m=Number of days measuredn=Day jeu=Difference of return from average return\ begin {aligné} & \ text {Variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} {m} \ sum_ {i = 1} ^ mu ^ 2_ {n – 1} \\ & \ textbf {où:} \\ & m = \ text {Nombre de jours mesurés} \\ & n = \ text {Jour} i \\ & u = \ text {Différence de rendement par rapport au rendement moyen} \\ \ end {aligné}​Variance=σn2​=m

Notez que cela fait la somme de chacun des retours périodiques, puis divise ce total par le nombre de jours ou d’observations (m). Il ne s’agit donc en réalité que d’une moyenne des rendements périodiques au carré. En d’autres termes, chaque rendement au carré reçoit un poids égal. Donc, si alpha (a) est un facteur de pondération (en particulier, a = 1 / m), alors une simple variance ressemble à ceci:

L’EWMA améliore la variance simple La faiblesse de cette approche est que tous les rendements gagnent le même poids. Le retour d’hier (très récent) n’a pas plus d’influence sur la variance que le retour du mois dernier. Ce problème est résolu en utilisant la moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA), dans laquelle les rendements plus récents ont un poids plus important sur la variance.

La moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA) introduit lambda, qui est appelé le paramètre de lissage. Lambda doit être inférieur à un. Dans cette condition, au lieu de pondérations égales, chaque rendement au carré est pondéré par un multiplicateur comme suit:

Par exemple, RiskMetricsTM, unesociété de gestion des risques financiers, a tendance à utiliser un lambda de 0,94, soit 94%. Dans ce cas, le premier rendement périodique carré (le plus récent) est pondéré par (1-0,94) (. 94) = 6%. Le retour au carré suivant est simplement un multiple lambda du poids précédent; dans ce cas, 6% multiplié par 94% = 5,64%. Et le poids du troisième jour précédent est égal à (1-0,94) (0,94) = 5,30%.

C’est le sens du terme «exponentiel» dans EWMA: chaque poids est un multiplicateur constant (c’est-à-dire lambda, qui doit être inférieur à un) du poids de la veille. Cela garantit une variance pondérée ou biaisée en faveur de données plus récentes. La différence entre simplement la volatilité et EWMA pour Google est indiquée ci-dessous.

La volatilité simple pèse effectivement chaque rendement périodique de 0,196%, comme indiqué dans la colonne O (nous avons eu deux ans de données quotidiennes sur le cours des actions. Cela représente 509 rendements quotidiens et 1/509 = 0,196%). Mais notez que la colonne P attribue un poids de 6%, puis 5,64%, puis 5,3% et ainsi de suite. C’est la seule différence entre la variance simple et EWMA.

Rappelez-vous: après avoir additionné la série entière (dans la colonne Q), nous avons la variance, qui est le carré de l’ écart type. Si nous voulons de la volatilité, nous devons nous rappeler de prendre la racine carrée de cette variance.

Quelle est la différence de volatilité quotidienne entre la variance et l’EWMA dans le cas de Google? C’est significatif: la simple variance nous a donné une volatilité quotidienne de 2,4% mais l’EWMA a donné une volatilité quotidienne de seulement 1,4% (voir le tableur pour plus de détails). Apparemment, la volatilité de Google s’est calmée plus récemment; par conséquent, une simple variance peut être artificiellement élevée.

La variance d’aujourd’hui est fonction de la variance du jour précédent

Vous remarquerez que nous devions calculer une longue série de poids décroissants de façon exponentielle. Nous ne ferons pas le calcul ici, mais l’une des meilleures caractéristiques de l’EWMA est que la série entière se réduit commodément à une formule récursive:

Récursif signifie que la variance d’aujourd’hui fait référence (c’est-à-dire qu’elle est fonction de) la variance du jour précédent. Vous pouvez également trouver cette formule dans la feuille de calcul, et elle produit exactement le même résultat que le calcul à la main! Il dit: la variance d’aujourd’hui (sous EWMA) est égale à la variance d’hier (pondérée par lambda) plus le rendement au carré d’hier (pondéré par un moins lambda). Remarquez comment nous ajoutons simplement deux termes ensemble: la variance pondérée d’hier et le rendement pondéré au carré d’hier.

Même ainsi, lambda est notre paramètre de lissage. Un lambda plus élevé (par exemple, comme les 94% de RiskMetric) indique une décroissance plus lente dans la série – en termes relatifs, nous allons avoir plus de points de données dans la série et ils vont «tomber» plus lentement. En revanche, si nous réduisons le lambda, nous indiquons une décroissance plus élevée: les poids diminuent plus rapidement et, en conséquence directe de la décroissance rapide, moins de points de données sont utilisés. (Dans la feuille de calcul, lambda est une entrée, vous pouvez donc expérimenter sa sensibilité).

Résumé

La volatilité est l’écart-type instantané d’une action et la mesure de risque la plus courante. C’est aussi la racine carrée de la variance. Nous pouvons mesurer la variance historiquement ou implicitement (volatilité implicite). Lors de la mesure historique, la méthode la plus simple est une simple variance. Mais la faiblesse de la simple variance est que tous les rendements ont le même poids. Nous sommes donc confrontés à un compromis classique: nous voulons toujours plus de données, mais plus nous avons de données, plus notre calcul est dilué par des données distantes (moins pertinentes). La moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA) améliore la variance simple en attribuant des pondérations aux rendements périodiques. En faisant cela, nous pouvons à la fois utiliser un échantillon de grande taille, mais aussi donner plus de poids aux déclarations plus récentes.