Théorie des jeux: au-delà des bases
En utilisant la théorie des jeux, des scénarios réels pour des situations telles que la concurrence sur les prix et les sorties de produits (et bien d’autres) peuvent être présentés et leurs résultats prédits. Les entreprises qui utilisent (et s’en tiennent à) cet appareil pour déterminer l’ équilibre de Nash voient un énorme avantage dans leurs stratégies de budgétisation. (Voir aussi: Les bases de la théorie des jeux.)
A qui le tour?
Alors que les parties séquentielles sont jouées à tour de rôle, des parties simultanées sont jouées avec chaque joueur prenant sa décision en même temps. Avec les jeux simultanés, nous n’utilisons plus la méthode d’introduction courante de l’induction arrière. Les partisans de la théorie des jeux présentent souvent les différents résultats dans ce qu’on appelle une matrice (ci-dessous).
Cette matrice est appelée forme normale. Les choix du joueur un sont affichés sur l’axe vertical gauche et les choix du joueur deux sont affichés sur l’axe horizontal supérieur. Les gains pour chaque joueur sont dans leurs intersections correspondantes et sont affichés comme suit (joueur un, joueur deux).
L’équilibre de Nash
L’équilibre de Nash est un résultat atteint qui, une fois atteint, signifie qu’aucun joueur ne peut augmenter ses gains en changeant unilatéralement ses décisions. Cela peut aussi être considéré comme «sans regret», dans le sens où une fois la décision prise, le joueur n’aura aucun regret concernant les décisions compte tenu des conséquences.
L’équilibre de Nash est atteint avec le temps, dans la plupart des cas. Cependant, une fois que l’équilibre de Nash est atteint, il ne sera pas dévié. Après avoir appris comment trouver l’équilibre de Nash, regardez comment un mouvement unilatéral affecterait la situation. Celà a-t-il un sens? Cela ne devrait pas, et c’est pourquoi l’équilibre de Nash est décrit comme «aucun regret».
Trouver les équilibres de Nash
Première étape: Déterminez la meilleure réponse du joueur aux actions du deuxième joueur. Lorsque nous examinons les choix qui peuvent maximiser le paiement d’un joueur, nous devons regarder comment le joueur un devrait répondre à chacune des options du joueur deux. Un moyen simple de le faire visuellement est de couvrir les choix du joueur deux. Considérez la matrice présentée au début de cet article lorsque nous appliquons cette méthode.
Le premier joueur a deux choix possibles pour jouer: «haut» ou «bas». Le joueur deux a également deux choix pour jouer: «gauche» ou «droite». Dans cette étape de détermination de l’équilibre de Nash, nous examinons les réponses aux actions du joueur deux. Si le joueur deux choisit de jouer « à gauche », nous pouvons jouer « vers le haut » avec le gain de 1, ou jouer « vers le bas » avec le gain de 3. Puisque 3 est supérieur à 1, nous mettrons en gras le 3 indiquant l’option de jouer « ici.
Si le joueur 2 choisit de jouer «à droite», nous pouvons choisir de jouer «vers le haut» pour un gain de 4 ou de jouer «vers le bas» pour un playoff de 3. Puisque 4 est supérieur à 3, nous mettons le 4 en gras pour indiquer l’option jouer « up » ici. Les résultats en gras sont présentés ci-dessous sur la matrice complète.
Deuxième étape: Déterminez la meilleure réponse du joueur deux aux actions du joueur. Comme nous l’avons fait auparavant avec les gains du joueur deux pour le joueur un, nous cacherons les gains du joueur un lors de la détermination des meilleures réponses pour le joueur deux. (Voir aussi: Indicateurs avancés de la finance comportementale.)
Tout comme en regardant le joueur un, chaque joueur a deux choix à jouer. Si le joueur 1 choisit de jouer «vers le haut», nous pouvons jouer «à gauche», avec un gain de 3, ou «à droite», avec un gain de 2. Puisque 3 est supérieur à 2, nous mettons en gras le 3 pour afficher l’option jouer « à gauche » ici. Si le joueur 1 choisit de jouer «à bas», nous pouvons jouer «à gauche», pour un gain de 2, ou «à droite», pour un gain de 1. Puisque 2 est supérieur à 1, nous mettons en gras le 2 indiquant l’option de jouer « à gauche ici. Les résultats en gras sont présentés ci-dessous sur la matrice complète.
Troisième étape: Déterminez quels résultats ont les deux avantages en gras. Ce résultat particulier est l’équilibre de Nash. Maintenant, nous combinons les options audacieuses des deux joueurs sur la matrice complète.
Recherchez les intersections où les deux gains sont audacieux. Dans ce cas, nous trouvons que l’intersection de (Bas, Gauche) avec le gain de (3, 2) correspond à nos critères. Cela indique notre équilibre de Nash.
Cette méthode pour trouver l’équilibre de Nash est bien adaptée pour trouver des équilibres dans des jeux qui sont simultanés puisque nous examinons comment un joueur réagirait indépendamment de la façon dont les autres agissent. Ce scénario de jeu simultané se joue souvent dans des entreprises telles que les compagnies aériennes. Vous trouverez ci-dessous un exemple, similaire au jeu ci-dessus, de la façon dont les prix des compagnies aériennes peuvent évoluer. Les paiements sont en milliers de dollars. N’oubliez pas que ce sont les paiements, pas les prix. La méthode que nous avons appliquée précédemment est déjà appliquée pour montrer où apparaît l’équilibre de Nash.
En regardant uniquement les choix d’A1, nous pouvons voir que si A2 choisit de jouer à bas prix, nous choisissons entre un prix bas pour 3000 ou un prix élevé pour 2000. Nous choisissons bas, puisque 3 000> 2 000. Nous faisons la même chose pour A2 jouant à prix fort et voyons que nous jouons bas car 4000> 3500. À l’inverse, en regardant uniquement les choix d’A2, nous pouvons voir que si A1 choisit de jouer à bas prix, nous choisissons entre «prix bas» pour 3 000 et «prix élevé» pour 2 000. Depuis 3.000> 2.000, nous choisissons ici l’option de prix bas. Si A1 joue un prix élevé, nous pouvons facturer un prix bas pour 4000 ou un prix élevé pour 3500. Depuis 4000> 3500, nous choisissons de jouer à bas prix ici.
L’équilibre de Nash est que les deux compagnies aériennes factureront un prix bas (indiqué lorsque les choix pour chaque partie sont mis en évidence). Si les deux compagnies aériennes facturaient un prix élevé, elles seraient chacune mieux loties qu’elles ne le sont à l’équilibre de Nash.
Alors pourquoi n’acceptent-ils pas de faire ça? Tout d’abord, il est illégal de s’entendre. Deuxièmement, si cela devait se produire, une action unilatérale de la part d’une compagnie aérienne pour facturer un prix bas serait bénéfique, ce qui permettrait à cette compagnie aérienne de gagner plus d’argent à son tour. Cette logique montre également comment l’équilibre de Nash est atteint et pourquoi il n’est pas avantageux de s’en écarter une fois qu’il est atteint. (Voir aussi: Finance comportementale.)
Équilibres de Nash multiples
Généralement, il peut y avoir plus d’un équilibre dans un jeu. Cependant, cela se produit généralement dans les jeux avec des éléments plus complexes que deux choix par deux joueurs. Dans les jeux simultanés qui se répètent dans le temps, l’un de ces équilibres multiples est atteint après quelques essais et erreurs. Ce scénario de choix différents dans le temps avant d’atteindre l’équilibre est le plus souvent joué dans le monde des affaires lorsque deux entreprises déterminent les prix de produits hautement interchangeables, tels que les billets d’avion ou les boissons non alcoolisées.
La ligne de fond
Avec ces méthodes avancées, des situations plus réelles peuvent être modélisées et résolues. Les différents types d’équilibres de Nash dont nous avons discuté sont les solutions les plus couramment trouvées aux jeux modélisés du monde réel. Une connaissance pratique de la théorie des jeux peut vous aider à élaborer une stratégie, que ce soit en jouant au tic-tac-toe ou en recherchant les plus gros profits.