Théorème de la limite centrale (CLT)

Qu’est-ce que le théorème de la limite centrale (CLT)?

Dans l’étude de la théorie des probabilités, le théorème central limite (CLT) indique que la distribution de l’échantillon se rapproche d’une distribution normale (également appelée «courbe en cloche») lorsque la taille de l’échantillon devient plus grande, en supposant que tous les échantillons sont de taille identique, et quelle que soit la forme de la répartition de la population.

Dit autrement, le CLT est une théorie statistique selon laquelle étant donné une taille d’échantillon suffisamment grande d’une population avec un niveau de variance fini, la moyenne de tous les échantillons d’une même population sera approximativement égale à la moyenne de la population. De plus, tous les échantillons suivront un modèle de distribution normal approximatif, toutes les variances étant approximativement égales à la variance de la population, divisée par la taille de chaque échantillon.

Bien que ce concept ait été développé pour la première fois par Abraham de Moivre en 1733, il n’a été officiellement nommé qu’en 1930, lorsque le célèbre mathématicien hongrois George Polya l’a officiellement surnommé le théorème central des limites.1

Comprendre le théorème central des limites (CLT)

Selon le théorème central de la limite, la moyenne d’un échantillon de données sera plus proche de la moyenne de la population globale en question, à mesure que la taille de l’échantillon augmente, nonobstant la distribution réelle des données. En d’autres termes, les données sont exactes, que la distribution soit normale ou aberrante.

En règle générale, les tailles d’échantillon égales ou supérieures à 30 sont jugées suffisantes pour que le CLT soit maintenu, ce qui signifie que la distribution des moyennes d’échantillon est assez normalement distribuée. Par conséquent, plus on prend d’échantillons, plus les résultats graphiques prennent la forme d’une distribution normale.

Le théorème central limite présente un phénomène où la moyenne des moyennes de l’échantillon et des écarts-types est égale à la moyenne et à l’écart-type de la population, ce qui est extrêmement utile pour prédire avec précision les caractéristiques des populations.

Le théorème central des limites en finance

Le CLT est utile lors de l’examen des rendements d’une action individuelle ou d’indices plus larges, car l’analyse est simple, en raison de la facilité relative de générer les données financières nécessaires. Par conséquent, les investisseurs de tous types s’appuient sur le CLT pour analyser les rendements des actions, construire des portefeuilles et gérer les risques.

Supposons, par exemple, qu’un investisseur souhaite analyser le rendement global d’un indice boursier comprenant 1 000 actions. Dans ce scénario, cet investisseur peut simplement étudier un échantillon aléatoire d’actions, pour cultiver les rendements estimés de l’indice total. Au moins 30 actions sélectionnées au hasard, dans divers secteurs, doivent être échantillonnées pour que le théorème de la limite centrale soit valable. En outre, les actions précédemment sélectionnées doivent être échangées avec des noms différents, pour aider à éliminer les biais.