Probabilite conditionnelle

Qu’est-ce que la probabilité conditionnelle?

La probabilité conditionnelle est définie comme la probabilité qu’un événement ou un résultat se produise, en fonction de l’occurrence d’un événement ou résultat antérieur. La probabilité conditionnelle est calculée en multipliant la probabilité de l’événement précédent par la probabilité mise à jour de l’événement successif ou conditionnel.

Par example:

• L’événement A est qu’une personne postulant pour l’université sera acceptée. Il y a 80% de chances que cette personne soit acceptée à l’université.
• L’événement B est que cette personne recevra un logement en dortoir. Le logement en dortoir ne sera fourni que pour 60% de tous les étudiants acceptés.
• P (Logement accepté et dortoir) = P (Logement en dortoir | Accepté) P (Accepté) = (0,60) * (0,80) = 0,48.

Une probabilité conditionnelle examinerait ces deux événements en relation l’un avec l’autre, comme la probabilité que vous soyez tous les deux acceptés à l’université  et que  vous bénéficiez d’un logement en dortoir.

La probabilité conditionnelle peut être comparée à la probabilité inconditionnelle. La probabilité inconditionnelle fait référence à la probabilité qu’un événement se produise indépendamment du fait que d’autres événements se soient produits ou que d’autres conditions soient présentes.

Comprendre la probabilité conditionnelle

Comme indiqué précédemment, les probabilités conditionnelles dépendent d’un résultat antérieur. Il émet également un certain nombre d’hypothèses. Par exemple, supposons que vous dessinez trois billes (rouge, bleue et verte) dans un sac. Chaque bille a une chance égale d’être dessinée. Quelle est la probabilité conditionnelle de dessiner la bille rouge après avoir déjà dessiné la bille bleue?

Premièrement, la probabilité de dessiner une bille bleue est d’environ 33% car c’est un résultat possible sur trois. En supposant que ce premier événement se produise, il restera deux billes, chacune ayant 50% de chances d’être tirée. Ainsi, la chance de dessiner une bille bleue après avoir déjà dessiné une bille rouge serait d’environ 16,5% (33% x 50%).

Comme autre exemple pour mieux comprendre ce concept, considérez qu’un dé juste a été lancé et il vous est demandé de donner la probabilité que c’était un cinq. Il y a six résultats également probables, donc votre réponse est 1/6. Mais imaginez si avant de répondre, vous obtenez des informations supplémentaires indiquant que le nombre obtenu était impair. Puisqu’il n’y a que trois nombres impairs possibles, dont l’un est cinq, vous réviseriez certainement votre estimation pour la probabilité qu’un cinq soit passé de 1/6 à 1/3.

Cette   probabilité révisée qu’un événement  A se  soit produit, compte tenu des informations supplémentaires qu’un autre événement  B  s’est définitivement produit lors de cet essai de l’expérience, est appelée  probabilité conditionnelle de  A  étant donné  B  et est notée P (A | B).

Formule de probabilité conditionnelle

P (B | A) = P (A et B) / P (A)

Ou alors:

P (B | A) = P (A∩B) / P (A)

Un autre exemple de probabilité conditionnelle

Comme autre exemple, supposons qu’un étudiant demande son admission dans une université et espère recevoir une bourse d’études. L’école à laquelle ils postulent accepte 100 candidats sur 1000 (10%) et attribue des bourses d’études à 10 étudiants sur 500 acceptés (2%). Parmi les boursiers, 50% d’entre eux reçoivent également des allocations universitaires pour les livres, les repas et le logement. Pour notre étudiant ambitieux, la chance qu’il soit accepté puis reçoive une bourse est de 0,2% (0,1 x 0,02). La chance qu’ils soient acceptés, reçoivent la bourse, puis reçoivent également une allocation pour les livres, etc. est de 0,1% (0,1 x 0,02 x 0,5). (Vous pouvez également consulter le théorème de Bayes.)

Probabilité conditionnelle vs probabilité conjointe et probabilité marginale

Probabilité conditionnelle : p (A | B) est la probabilité que l’événement A se produise, étant donné que l’événement B se produit. Exemple: étant donné que vous avez dessiné un carton rouge, quelle est la probabilité que ce soit un quatre (p (quatre | rouge)) = 2/26 = 1/13. Donc, sur les 26 cartons rouges (étant donné un carton rouge), il y en a deux à quatre donc 2/26 = 1/13.

Probabilité marginale : probabilité qu’un événement se produise (p (A)), elle peut être considérée comme une probabilité inconditionnelle. Il n’est pas conditionné par un autre événement. Exemple: la probabilité qu’une carte tirée soit rouge (p (rouge) = 0,5). Autre exemple: la probabilité qu’une carte tirée soit un 4 (p (quatre) = 1/13).

Probabilité conjointe : p (A et B). La probabilité que l’événement A  et l’  événement B se produisent. C’est la probabilité de l’intersection de deux ou plusieurs événements. La probabilité de l’intersection de A et B peut s’écrire p (A ∩ B). Exemple: la probabilité qu’une carte soit un quatre et rouge = p (quatre et rouge) = 2/52 = 1/26. (Il y a deux quatre rouges dans un jeu de 52, le 4 de coeurs et le 4 de diamants).

Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes, nommé d’après le mathématicien britannique Thomas Bayes du XVIIIe siècle, est une formule mathématique pour déterminer la probabilité conditionnelle. Le théorème fournit un moyen de réviser les prédictions ou les théories existantes (mettre à jour les probabilités) à partir de preuves nouvelles ou supplémentaires. En finance, le théorème de Bayes peut être utilisé pour évaluer le risque de prêter de l’argent à des emprunteurs potentiels.

Le théorème de Bayes est également appelé règle de Bayes ou loi de Bayes et est le fondement du domaine de la statistique bayésienne. Cet ensemble de règles de probabilité permet de mettre à jour ses prédictions d’événements survenant en fonction de nouvelles informations reçues, ce qui permet d’obtenir des estimations meilleures et plus dynamiques.