Durée de Macaulay vs durée modifiée

Table des matières

Développer

• La durée de Macaulay
• La durée modifiée
• Swaps de taux d’intérêt
• Comparaison de la durée de Macaulay et de la durée modifiée

La duration de Macaulay et la duration modifiée sont principalement utilisées pour calculer les durées des obligations. La duration de Macaulay calcule le temps moyen pondéré avant qu’un obligataire reçoive les flux de trésorerie de l’obligation. À l’inverse, la duration modifiée mesure la sensibilité au prix d’une obligation en cas de changement du rendement à l’échéance.

La durée de Macaulay

La durée de Macaulay est calculée en multipliant la période par le paiement périodique du coupon et en divisant la valeur résultante par 1 plus le rendement périodique augmenté jusqu’à l’échéance. Ensuite, la valeur est calculée pour chaque période et additionnée. Ensuite, la valeur résultante est ajoutée au nombre total de périodes multiplié par la  valeur nominale, divisée par 1, plus le rendement périodique élevé au nombre total de périodes. Ensuite, la valeur est divisée par le prix actuel de l’obligation.

Le prix d’une obligation est calculé en multipliant le flux de trésorerie par 1, moins 1, divisé par 1, plus le rendement à l’échéance, augmenté au nombre de périodes divisé par le rendement requis. La valeur qui en résulte est ajoutée à la valeur nominale, ou valeur à l’échéance, de l’obligation divisée par 1, plus le rendement à l’échéance porté au nombre total de périodes.

Par exemple, supposons que la duration Macaulay d’une obligation à cinq ans avec une valeur d’échéance de 5000 $ et un taux de coupon de 6% soit de 4,87 ans ((1 * 60) / (1 + 0,06) + (2 * 60) / (1 + 0,06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0,06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0,06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0,06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0,06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0,06) ^ -5) / (0,06)) + (5000 / (1 + 0,06) ^ 5)).

La duration modifiée de cette obligation, avec un rendement à l’échéance de 6% pour une période de coupon, est de 4,59 ans (4,87 / (1 + 0,06 / 1). Par conséquent, si le rendement à l’échéance augmente de 6% à 7%, le la durée de l’obligation diminuera de 0,28 an (4,87 – 4,59).

La formule pour calculer la variation en pourcentage du prix de l’obligation est la variation du rendement multipliée par la valeur négative de la durée modifiée multipliée par 100%. Ce changement de pourcentage résultant de l’obligation, pour une augmentation de rendement de 1%, est calculé à -4,59% (0,01 * – 4,59 * 100%).

La durée modifiée

Modified Duration=Macauley Duration(1+OuiTMn)where:OuiTM=yield to maturityn=number of coupon periods per year\ begin {aligné} & \ text {Durée modifiée} = \ frac {\ text {Durée Macauley}} {\ gauche (1 + \ frac {YTM} {n} \ droite)} \\ & \ textbf {où:} \\ & YTM = \ text {rendement à l’échéance} \\ & n = \ text {nombre de périodes de coupon par an} \ end {aligné}​Durée modifiée=( 1+n

La  duration modifiée  est une version ajustée de la duration de Macaulay, qui tient compte de l’évolution du rendement en échéances. La formule de la duration modifiée est la valeur de la duration de Macaulay divisée par 1, plus le rendement à l’échéance, divisé par le nombre de périodes de coupon par an. La durée modifiée détermine les variations de la durée et du prix d’une obligation pour chaque  pourcentage de variation  du rendement à l’échéance.1

Par exemple, supposons qu’une obligation à six ans a une valeur nominale de 1 000 $ et un taux de coupon annuel de 8%. La durée de Macaulay est calculée à 4,99 ans ((1 * 80) / (1 + 0,08) + (2 * 80) / (1 + 0,08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0,08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0,08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0,08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0,08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0,08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0,08) ^ -6) / 0,08 + 1000 / (1 + 0,08) ^ 6).

La duration modifiée de cette obligation, avec un rendement à l’échéance de 8% pour une période de coupon, est de 4,62 ans (4,99 / (1 + 0,08 / 1). Par conséquent, si le rendement à l’échéance augmente de 8% à 9%, le la durée de l’obligation diminuera de 0,37 an (4,99 – 4,62).

La formule pour calculer la variation en pourcentage du prix de l’obligation est la variation du rendement multipliée par la valeur négative de la durée modifiée multipliée par 100%. Cette variation en pourcentage de l’obligation qui en résulte, pour une augmentation des taux d’intérêt de 8% à 9%, est calculée à -4,62% ​​(0,01 * – 4,62 * 100%).

Par conséquent, si les taux d’intérêt augmentent de 1% du jour au lendemain, le prix de l’obligation devrait baisser de 4,62%.

Les swaps de duration et de taux d’intérêt modifiés

La durée modifiée pourrait être prolongée pour calculer le nombre d’années qu’il faudrait à un swap de taux d’intérêt pour rembourser le prix payé pour le swap. Un swap de taux d’intérêt est l’échange d’un ensemble de flux de  trésorerie  contre un autre et est basé sur des spécifications de taux d’intérêt entre les parties.

La durée modifiée est calculée en divisant la valeur en dollars d’une variation d’un point de base d’un swap de taux d’intérêt, ou d’une série de flux de trésorerie, par la valeur actuelle de la série de flux de trésorerie. La valeur est ensuite multipliée par 10 000. La durée modifiée pour chaque série de flux de trésorerie peut également être calculée en divisant la valeur en dollars d’un changement de point de base de la série de flux de trésorerie par la valeur notionnelle plus la valeur de marché. La fraction est ensuite multipliée par 10 000.

La durée modifiée des deux branches doit être calculée pour calculer la durée modifiée du  swap de taux d’intérêt. La différence entre les deux durées modifiées est la durée modifiée du swap de taux d’intérêt. La formule de la durée modifiée du swap de taux d’intérêt est la durée modifiée de la jambe réceptrice moins la durée modifiée de la jambe payante.

Par exemple, supposons que la banque A et la banque B concluent un swap de taux d’intérêt. La durée modifiée de la jambe réceptrice d’un swap est calculée à neuf ans et la durée modifiée de la jambe payante est calculée à cinq ans. La durée modifiée du swap de taux d’intérêt qui en résulte est de quatre ans (9 ans – 5 ans).

Comparaison de la durée de Macaulay et de la durée modifiée

Étant donné que la duration de Macaulay mesure le temps moyen pondéré pendant lequel un investisseur doit détenir une obligation jusqu’à ce que la valeur actuelle des flux de trésorerie de l’obligation soit égale au montant payé pour l’obligation, elle est souvent utilisée par les gestionnaires d’obligations qui cherchent à gérer le risque de portefeuille d’obligations avec des stratégies d’ immunisation..

En revanche, la duration modifiée identifie dans quelle mesure la duration change pour chaque pourcentage de variation du rendement tout en mesurant dans quelle mesure une variation des taux d’intérêt influe sur le prix d’une obligation. Ainsi, la duration modifiée peut fournir une mesure du risque aux investisseurs obligataires en estimant à quel point le prix d’une obligation pourrait baisser avec une augmentation des taux d’intérêt. Il est important de noter que les prix des obligations et les taux d’intérêt ont une  relation inverse les  uns avec les autres.